衍生品的定价理论1：BS模型

所谓的衍生品(derivative)，就是以某金融资产作为标的物而创造的新的金融资产。显然，衍生品的价格也应该由标的物来决定。在对衍生品的价格进行建模时，我们会将标的物与衍生品的价格都当做具有马尔可夫性的随机过程，并且我们认为，金融资产的收益应当服从lognormal分布。当然，定价当然也要假设市场为有效市场，最后作为一个学物理的，在使用求期望的数学符号上，就不用\(E(X)\)而是用\(\langle X\rangle\)了。

Wiener过程和Itô 过程

一个随机变量\(X(t)\)如果满足以下2个性质，我们就称其为Wiener过程:

1.任意 \(\Delta t\) 区间内，随机变量 \(X\) 的变化 \(\Delta z\) 服从正态分布: \[ \Delta z = \epsilon \sqrt{\Delta t} \]

其中\(\epsilon\)为标准正态分布\(\epsilon \sim \phi(0,1)\).

2.对于任意两个不相交的时间区间 \(\Delta t_1, \Delta t_2\) 产生的变化 \(\Delta z_1, \Delta z_2\) 分布相互独立(马尔可夫性).

性质I. 中使用根号，是因为这样能保证\(\Delta z\)的方差为\(\Delta t\)，性质II. 的马尔可夫性，又保证了任意两个不相交区间方差的可加性。考虑这样一个情况，从时间0点开始，一个时间段\(T\)内Wiener过程的变化量为 \[ z(T)-z(0)=z \] 我们将时间段\(T\)一分为二，\(T\)时间的增量应该是二者之和： \[ z = z_T=z_{T_1}+z_{T_2}=z_1+z_2 \] 其中\(T=T_1+T_2\). 由于求均值是线性的算符，天然满足可加性 \[ 0 = \langle z\rangle = \langle z_1+z_2\rangle =\langle z_1\rangle+\langle z_2\rangle = 0 \] 但如果等号两边取方差，等式左边： \[ \begin{equation} \begin{aligned} \langle (z-\langle z\rangle)^2 \rangle &= \langle z^2\rangle \end{aligned} \end{equation} \] 等号右边为 \[ \begin{equation} \begin{aligned} \langle (z_1+z_2-\langle z_1+z_2\rangle)^2 \rangle &= \langle (z_1+z_2)^2 \rangle\\ &= \langle z_1^2+z_2^2+2z_1z_2 \rangle \\ &= \langle z_1^2 \rangle + \langle z_2^2 \rangle + 2\langle z_1z_2 \rangle \\ &= \langle z_1^2 \rangle + \langle z_2^2 \rangle \end{aligned} \end{equation} \] 因此 \[ T =\langle z^2\rangle = \langle z_1^2\rangle + \langle z_2^2\rangle = T_1+T_2 \] 这个well defined的性质要由马尔可夫性才能得出，因为它保证了\(\langle z_1z_2 \rangle = 0\). 对于Weiner过程，我们就可以考虑一个无穷小变化时间\(dt\)内的Weiner过程的变化\(dz\), 在经过时间\(T\)以后有: \[ \Delta z = \int_0^Tdz \sim \phi(0,T) \] 如果一个随机变量\(X(t)\)在\(\Delta t\)区间内的变化\(\Delta z\)服从的是一个\(\phi(a,b^2)\)的正态分布，我们就称其为广义的Weiner过程，一个广义的Wiener过程的变化量可以写作： \[ \Delta x = a\Delta t + b\epsilon\sqrt{\Delta t} \] 资产的价格当然不是均值为0的随机游走，因此我们要把Wiener过程广义化才能用于对资产价格的建模。那么我们就将一个随机变量\(X(t)\)分为两部分，一部分是有确定收益的增量，另一部分是Wiener过程的随机游走项作为风险项： \[ \Delta x = a(x,t)\Delta t + b(x, t)\epsilon\sqrt{\Delta t} \] 这样一个过程就成为Itô 过程, \(a\)称为drift rate, \(b\)称为variance rate。

Black-Scholes模型

在写出了一个资产的价格方程后，我们就可以根据衍生品与标的物的关系，推导出其价格应当满足的方程了。具体来说，如果一个随机变量为Itô 过程，满足 \[ dx = adt + bdz \] 其中\(dz\)是Wiener过程，那么一个以\(x\)为变量的随机过程\(G(x,t)\), 在\(\Delta t\)时间内产生的变化\(\Delta G\)近似为 \[ \Delta G \approx \frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\Delta x^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}\Delta t^2 + \frac{\partial^2 G}{\partial x\partial t}\Delta x\Delta t \] 注意到了\(\Delta x = a\Delta t + b\epsilon\sqrt{\Delta t}\)，一阶以上的变化可以略掉，代入得 \[ \begin{equation} \begin{aligned} \Delta G &\approx \frac{\partial G}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\Delta x^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}\Delta t^2 + \frac{\partial^2 G}{\partial x\partial t}\Delta x\Delta t \\ &= \frac{\partial G}{\partial x}(a\Delta t + b\epsilon\sqrt{\Delta t}) + \frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}(a\Delta t + b\epsilon\sqrt{\Delta t})^2\\ &= \left( \frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\epsilon^2b^2 \right)\Delta t + \frac{\partial G}{\partial x}b\epsilon\sqrt{\Delta t} \end{aligned} \end{equation} \] 对于\(\epsilon^2\)而言，\(\langle\epsilon^2\Delta t\rangle=\Delta t\)，而它的方差是比\(\Delta t\)更高阶的无穷小，所以我们忽略掉其对variance部分的贡献，然后把\(\Delta G\rightarrow dG\)，得到\(G(x,t)\)满足的方程为 \[ dG = \left( \frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2 \right)dt+\frac{\partial G}{\partial x}bdz \] 这个结果称为Itô 引理。

我们认为，一个金融资产的价格随着时间应当是按照指数增长的。例如一笔利率为\(r\)，借出时面值\(K_0\)的债务，经过时间\(t\)后，按照本息偿还的面值应该为： \[ K(t) = K_0e^{r t} \] 求导可以得到 \[ \frac{dK}{dt} = rK_0e^{rt} = rK \Rightarrow \frac{dK}{K}=rdt \] \(r\)就是无风险资产的收益率。对应到一个资产\(S\)上，其收益率也应当分为确定的无风险部分以及不确定的风险部分: \[ \frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \Delta z \] 也就是 \[ \frac{\Delta S}{S}\sim\phi(\mu \Delta t, \sigma^2 \Delta t) \] 我们称\(\sigma\)为波动率(volatility)。于是一个风险资产的价格应当满足以下Itô 过程 \[ dS = \mu Sdt + \sigma Sdz \] 那么，以该资产为标的物的衍生品价格\(G(S(x,t),t)\)应当满足： \[ dG = \left( \frac{\partial G}{\partial S}\mu S + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right)dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma Sdz \] 离散形式为 \[ \Delta G = \left( \frac{\partial G}{\partial S}\mu S + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right)\Delta t+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma S\Delta z \]

资产的对数表达式

利用Itô 引理，我们可以导出一个资产价格的对数满足的分布。对于\(G = \ln(S)\)，有\(\partial G/\partial S = 1/S, \partial^2G/\partial S^2 = -1/S^2, \partial G/\partial t = 0\)，于是 \[ d\ln S = \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dz \] 可以得到 \[ \ln (S_T)-\ln S_0 \sim \phi[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\sigma^2T] \] 注意，连续复利的收益率和离散复利收益率是两个东西，因为离散复利收益率\(\mu = \ln \langle S_T/S_0\rangle\)，而连续复利的收益率是\(\langle \ln S_T/S_0\rangle\). 并且前者具有可加性，后者不具有，而且根据对数函数的凸性，有\(\ln \langle S_T/S_0\rangle > \langle \ln S_T/S_0\rangle\)。

我们将资产价格表达式写成和固定利率的无风险债券相同的形式： \[ S_T = S_0e^{xT} \] 其中 \[ x = \frac{1}{T}\ln\frac{S_T}{S_0}\sim\phi\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}, \frac{\sigma^2}{T}\right) \] 称为连续复利下的收益率。

衍生品价格的表达式

B-S模型利用了有效市场假设，即不存在无风险套利机会。考虑这样一个投资组合，卖出一份衍生品，再以\(\partial f /\partial S\)倍数买入标的物 \[ \Pi = -f+\frac{\partial f}{\partial S}S \] 在一段\(\Delta t\)后，产生的收益为 \[ \Delta \Pi = -\Delta f +\frac{\partial f}{\partial S}\Delta S = \left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt \] 随机项被消除了，于是这就是一个无风险的收益。根据有效市场假设，这个收益的收益率一定是无风险利率： \[ \Delta \Pi = r\Pi\Delta t \] 于是有 \[ \left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right) = r\left(-f+\frac{\partial f}{\partial S}S\right) \] 最终整理得到 \[ \frac{\partial f}{\partial t} + rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 - rf = 0 \] 这就是BS模型。