衍生品的定价理论2：期权

期权(option)是一种以某种资产价格为标的物的衍生品。按照行权可以分为call option和put option. call option就是在行权日能够以某价格购买标的物的权力，put option就是在行权日能够以某价格出售某标的物的权力。按照行权时间，期权可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只有行权日到期那一刻才能行权，美式期权在到期之前任意一天都可以行权。

对于call option的买方，如果在行权时标的物的价格\(S_t\)高于行权价\(K\)，那么持有call option在在行权以后就能以行权价\(K\)买入标的资产，再以\(S_t\)卖出平仓，获得利润\(S_t-K\)，因此够获得的回报为 \[ \max\{S_t-K, 0\}-c \]

其中\(c\)为期权的价格。由于期权是0和游戏，对应卖方的回报就是 \[ c-\max\{S_t-K, 0\} \] 对于put option，如果在行权时标的物价格\(S_t\)低于行权价\(K\)，那持有put option在行权后就能以行权价\(K\)卖出标的资产，在以\(S_t\)买入平仓，获得利润\(K-S_t\)，因此能够获得的回报为 \[ \max\{K-S_t, 0\}-p \] 其中\(p\)为期权的价格。同样，对应卖方的回报为 \[ p -\max\{K-S_t, 0\} \] 由于持有call option在未来资产价格上涨时能获利，持有put option在未来资产价格下跌时能获利，因此call option又叫看涨期权，put option又叫看跌期权。

期权性质

由于欧式期权比的行权日是固定的，比较简单，这里只讨论欧式期权。首先是对于相同行权日和行权价格call/put option，其价格满足以下等式： \[ c+Ke^{-rT}=S_0+p \] 其中\(c,p\)为call/put option的价格，\(K\)为行权价，\(r\)为无风险利率，\(T\)为到期时间，\(S_0\)为标的物当前的价格。这个等式可以通过有效市场假设导出。我们把等号中每一项都当做一个投资组合的开仓，对于等号左边，等同于以价格\(c\)买入一张call option，以价格\(Ke^{-rT}\)买入一张无风险债券。我们计为投资组合1。到行权日时，这个投资组合的价格变为 \[ \max\{S_t-K, 0\} + K = \max\{S_t, K\} \] 同样，对于等号右边，等同于以价格\(p\)买入一张put option，并且以当前价格\(S_0\)买入标的资产，我们计为投资组合2。到行权日时，这个投资组合的价格变为 \[ \max\{K-S_t, 0\} + S_t = \max\{S_t, K\} \] 因此这两个投资组合未来的价格是完全一致的，如果call/put option的价格不满足这个关系，那就获得了无风险套利机会：如果\(c+Ke^{-rT}<S_0+p\)，就开多投资组合1，开空投资组合2，最终获得\(S_0+p-c-Ke^{-rT}\)的无风险利润，反之亦然，这违反了有效市场假设。

上面的证明方法还可以导出call option的价格区间为 \[ \begin{equation} \begin{aligned} S_0 &\geq c \geq \max\{S_0-Ke^{-rT}, 0\} \\ \end{aligned} \end{equation} \] call option价格不会高于标的物价格，\(S_0 \geq c\)是显然的，因为这会导致买call option的收益严格小于直接买入标的物的收益。对于投资组合1，在行权以后获得的收益为 \[ \max\{S_t, K\} - c - Ke^{-rT} \] 如果\(c < \max\{S_0-Ke^{-rT}, 0\}\)，投资组合1也将带来高于无风险利率的无风险收益，违反了有效市场假设。

相似地，put option的价格区间为 \[ \max\{Ke^{-rT}-S_0, 0\} \leq p \leq K \] put option价格不会高于行权价格，\(K \geq c\)是显然的，因为这会导致买put option的收益严格小于直做空标的物的收益。我们假设资产价格不会跌至负数，那么对于下界，投资组合2在行权后获得的收益为 \[ \max\{S_t, K\} - p - S_0 \geq \max\{K-S_0,0\} \] 如果\(\max\{Ke^{-rT}-S_0, 0\} \leq p\)，对于投资组合2也将带来高于无风险利率的无风险收益，违反了有效市场假设。